Diclib.com
Dictionnaire ChatGPT

Recherche dans le dictionnaire Solutions personnalisées

Entrez un mot ou une phrase dans n'importe quelle langue 👆

Langue:

Traduction et analyse de mots par intelligence artificielle ChatGPT

Sur cette page, vous pouvez obtenir une analyse détaillée d'un mot ou d'une phrase, réalisée à l'aide de la meilleure technologie d'intelligence artificielle à ce jour:

comment le mot est utilisé
fréquence d'utilisation
il est utilisé plus souvent dans le discours oral ou écrit
options de traduction de mots
exemples d'utilisation (plusieurs phrases avec traduction)
étymologie

Qu'est-ce (qui) est Комплексные числа - définition

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Комплексные числа; Комплексное сопряжение; Аргумент (комплексного числа); Аргумент комплексного числа; Мнимая величина; Модуль комплексного числа; Поле комплексных чисел; Чисто комплексные числа; A+bi; Показательная форма комплексного числа; Комплексная единица; ℜ; ℑ; ℂ; Комплексный модуль

$Модуль <math>r</math> и аргумент <math>\varphi</math> комплексного числа$

Комплексные числа

числа вида х + iy, где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а у - мнимой частью К. ч. z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа (См. Действительное число) - частный случай К. ч. (при у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (у ≠ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z = х+iy и z = х-iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i²=-1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и φ:, то соответствующее К. ч. можно представить в виде:

r (cos φ + i sin φ)

(тригонометрическая, или полярная, форма К. ч.);

называют модулем К. ч. х+iy, а φ = arg z - аргументом его. Тригонометрическая форма К. ч. особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

[r (cos φ + i sin φ)] ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ),

, в частности

, k = 0, 1, ..., n-1

По своим алгебраическим свойствам совокупность К. ч. образует Поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n =0; где a₁,..., a_n - К. ч., имеет (при учёте кратности) среди К. ч. точно n корней.

Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений (См. Кубическое уравнение), оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над К. ч. Это содействовало признанию К. ч. Первое обоснование простейших действий с К. ч. встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к К. ч. относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием". В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу eⁱ^φ = cosφ + isinφ, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер К. ч. выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин "К. ч." предложен К. Гауссом в 1831. Введение К. ч. делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). К. ч. Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании К. ч., чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.

Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

Рис. к ст. Комплексные числа.

Гиперболические числа

Паракомплексные числа; Расщепляемые комплексные числа; Двойные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́слаС. А.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_числа

Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечаниеДва возможных ударения указаны согласно следующим источникам.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

Wikipédia

Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида $a+bi,$ где $a,b$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $i^{2}=-1.$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\mathbb {C} .$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $a+0i.$ Главное свойство $\mathbb {C}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $n$ -й степени ( $n\geqslant 1$ ) имеет $n$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа $a+bi$ точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение $i$ для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное число